很多人認為幾何學是他們學生時代的噩夢，但與其說它是噩夢，不如說它就是我們的生活。我們傳統認知的幾何學是一些不知道在說什么的公式，但幾何其實存在于人類生活的各個方面:自然、藝術、城市布局、建筑、科學等。

(資料圖)

如果看看我們的生活，我們生活在一個信息化的、技術高超的世界，我們的周圍有很多的創造超乎了我們的想象。因為有這些創造讓我們生活的很舒適。我們可以用手機聯系他人，我們可以坐在舒適的椅子上工作，當我們走上街頭會發現，現在的建筑越來越高，還有一些汽車可以根據路況調整它的底盤高度。當我們看到每一個創造發明時，就會發現每一個發明中都有幾何的元素。

建筑中的幾何元素

雖然，目前為止還是有很多人對幾何聞之色變。然而，當我們回顧幾何學的歷史就會發現幾何學的出現對于人類的意義。幾何學是從埃及傳播來的。埃及的尼羅河每年都會泛濫，于是人們在每年的洪水過后，都要重新測量土地，也因此發展出了幾何與面積的測量方式。

其實，人們對學習幾何的恐懼并不是由幾何學本身造成的，而是概念給予的方式不恰當，大多數時候，我們都是在不理解所學內容的情況下進行學習的。

所以，現在讓我們拋開偏見，

以一種開放的心態來看看我們6歲之前的

孩子是如何獲得幾何的概念的。

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Gif by Peninsula Kindergarten

6歲以前的孩子的學習方式與成人不同，他們還無法理解那些抽象的幾何概念，所以我們無法讓孩子去死記硬背那些公式，當然我們也不能夠如此做。我們要讓他們通過一些可觸摸的教具來探索并理解這些抽象的概念。

所以，在一間蒙特梭利的教室當中，我們不會看到那些為幾何而苦惱的孩子。我們看到的是積極地探索、快樂地在游戲中獲得新知的孩子。他們穿梭在教室的各個角落，尋找與自己看到的幾何圖形相同的形狀。當他們找的之后，會興奮地說：“你們看，我又找到了一個六邊形，就是那個盒子。”他們也會將這些幾何形狀與相同的卡片進行配對。當他們完成之后，會說：“哇哦，我全部找到了?！庇械臅r候，孩子們會自發的數一數：“我找到了全部的33張。”

當然就是孩子的生活經驗。在日常生活中，孩子們看到過啤酒罐，看到過汽車的輪胎，看到過街上的廣告牌，在他們的小腦袋里充斥著各種信息。我們要做的就是將孩子這些已有的、隨機的經驗能夠有序的組織到大腦中。于是我們提供給孩子24種平面幾何形狀：等邊三角形、等腰銳角三角形、等腰直角三角形、等腰鈍角三角形、不等腰銳角三角形、不等腰直角三角形、不等腰鈍角三角形、正方形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形、九邊形、十邊形、長方形、菱形、平行四邊形、等腰梯形、直角梯形、圓形、橢圓形、卵形、圓弧三角形、花邊形。

Photo by peninsula kindergarten

孩子通過動手觸摸感受這些形狀，將以往的經驗與這些幾何圖形相結合，并且在游戲中獲得了這些幾何圖形的名稱。這時的孩子就像獲得了游戲的通關密碼，我只要想到這個名稱，大腦中就會呈現出這個幾何圖形的圖像，這些訊息已經成為他內在的一部分了。

“孩子們十分的熱愛這些幾何的教具，他們會在探索中找到一些規律。”

兩個相同的或者是不同的三角形等長的邊結合在一起時，可以構成一個四邊形。這樣的探索讓他們興奮。兩個綠色的等腰直角三角形根據上面的黑線放在一起，變成了一個正方形。另一對三角形放在一起時，會是什么呢？這兩個灰色的不等腰直角三角形根據黑線結合變成了一個長方形。這兩個組成了菱形，還有的可以組成平行四邊形。兩個不一樣的三角形：一個紅色等腰直角三角形和一個紅色不等腰鈍角三角形黑線結合在一起時，組成了一個等腰梯形。對于一個四歲左右的孩子來說，這些形狀的出現具有某種魔力。

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兩個綠色不等腰直角三角形黑線結合時可以組成一個等邊三角形。三個黃色等腰鈍角三角形根據黑線的指引可以組成一個等邊三角形。四個紅色等邊三角形，也可以組成一個等邊三角形。孩子會發現它們是一樣的形狀并且組成的尺寸是相同的。這就是這組建構式三角形的神奇之處。它協助孩子意識到等邊三角形可以再次分解成其它類型的三角形的同時，也理解了對等的概念。

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之后孩子探索的形狀是六邊形

探索六邊形的教具裝在兩個六邊形的盒子中。其中一盒，我們用等腰鈍角三角形來建構其他形狀。兩個紅色的等腰鈍角三角形根據黑線可以組成一個菱形。兩個灰色等腰鈍角三角形，根據黑線的指引組成了一個平行四邊形。六個等腰鈍角三角形組成了一個六邊形。另外，一個等邊三角形的三個邊與三個等腰鈍角三角形結合在一起，也組成了一個六邊形。

Photo by peninsula kindergarten

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孩子會在探索中發現它們之間的關系，一個六邊形可以分成六個等腰鈍角三角形；三個菱形；三個平行四邊形以及一個等邊三角形和三個等腰鈍角三角形。而這些概念都是孩子自己發現的，并沒有人告訴他。

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在另外一個六邊形的盒子中，我們可以看到這樣的一個呈現：兩個等邊三角形可以組成菱形，三個等邊三角形組成等腰梯形，六個等邊三角形組成六邊形。它們之間的關系是：一個六邊形可以組成兩個等腰梯形以及三個菱形。

Photo by peninsula kindergarten

我們要知道，這些教具都不是強加給孩子的，而是放在我們的環境中，孩子可以隨意使用、自由選擇。我們可以觀察到孩子們為之著迷。

在這一組建構式三角形的工作中，孩子通過探索自發地發現并理解了對等的概念以及如何利用它找到平面形狀的面積。也為之后學習幾何學做了預備，因為它呈現出了所有由直線構成的平面幾何圖形都是由三角形構成的這樣的概念。而孩子的這種理解，并不在于老師的講解、費力的記憶，而只是在于孩子的興趣與探索之間自然地獲得。

這個年齡段的孩子是感官的學習者，同時他們還有動作協調以及感官精致化的敏感期，如果給孩子動手探索的機會，而不只是教知識，可以更加激發孩子的興趣。我們知道對于學習而言，有興趣的學習比沒有興趣的學習更主動也更有效率。

在這樣的探索過程中，孩子們并沒有意識到自己掌握了幾何知識，但這些與幾何相關的概念卻被清楚的積累并記錄下來的。當日后孩子的心智足夠成熟時，在正式學習幾何的過程中，孩子會將之前已有的經驗提取出來，并與新的知識進行連接，也更能夠理解這些抽象的幾何概念。這就是瑪利亞.蒙特梭利博士提到的從具體走向抽象的過程。

不僅僅是幾何，幾乎所有在蒙特梭利教室里的數學的概念的學習都不是教出來的，而是通過孩子的感官認識，慢慢在大量的操作中，隨著孩子年齡增長，逐步從具體的感官認識走向抽象的總結。

這樣得來的知識，難道不是更加扎實，理解更加深入嗎？

撰文 | 半島教育集團 · Coco老師

編輯&設計 |半島教育集團

圖片 |半島教育集團